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[行测] 2018宝清国考笔试不定方程

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发表于 2018-4-26 09:22:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在近两年的考试中,不定方程的考察呈上升趋势,它是数论的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数。
  中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说:“鸡翁一,直钱五,鸡母一,直钱三,鸡雏三,直钱一。百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?”。设x,y,z分别表鸡翁、母、雏的个数,则此问题即为不定方程组的非负整数解x,y,z,这是一个三元不定方程组问题。
  现在不定方程我们都按照同余特性学习应用,为了更加方便快捷,我们讲解几种具体方法:尾数、奇偶、质合。
  【例1】现在149个相同大小的苹果往大、小两个袋子中装,已知大袋每袋装17个苹果,小袋每袋装10个苹果。每个袋子必须装满,则需要大袋子的个数是?
  A 6 B 7 C 8 D 9
  【解析】设需要大袋子x个,小袋子y个,得到17x+10y=149,由于小袋子每袋装10个苹果,所以无论有多少个小袋子,所能装的苹果数的尾数永远为0,即10y的尾数是0;则大袋每袋装17个苹果,17x的尾数为9,所以x的尾数为7,选B。
  【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均的分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?
  【解析】此题初看无处入手,条件仅仅有每个教师所带学生数量为质数,条件较少,无法直接利用数量关系来推断,需利用方程法。
  设每名钢琴教师带x名学生,每位拉丁舞教师带y名学生,则x、y为质数,且5x+6y=76。对于这个不定方程,需要从整除特性、奇偶性或质合性来解题。
  6y是偶数,76是偶数,所以5x也是偶数,由于“每个教师所带学生数量为质数”,x=2,可知y=11。现在的学员人数2×4+11×3=41人。

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