数学推理基本方法(李如海)(更新完毕)

坏坏

一、等差数列 (第一切入角度)
第一切入角度:进行任何数字推理时,首先想到等差数列及其变式.

1.等差数列的特点是:数列各项依次递增或递减,各项数字之间的变化幅度不大
例:
12,17,22,(  ),32.

2.二级等差数列:后一项减去前一项所得的新数列是一个等差数列
例:
2,6,12,20,30,(  )


3.二级等差数列的变式:后一项减前一项所得的新的数列是一个呈现某种规律变化的数列,这个数列可能是自然数列、平方数列、立方数列,或者与加减某个常数(如1,2,3,4,5等)的形式有关
例:1,2,5,14,(  )
解析:2-1=1,5-2=3,14-5=9,即:3^0,3^1,3^2.由此可以推知下一项为41.
例:
20,22,25,30,37,(  )
解析:后一项减前一项所得的新数列为质数数列.


4.多级等差数列及其变式:一个数列经过两次以上(包括两次)的后项减前项的变化后,所得到的新数列是一个等差数列.其变式指一个数列经过两次以上(包括两次)的后项减前项变化后,得到一个新的数列,这个数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列或加减某个常数(如1,2,3,4,5)的形式有关的数列
例:
0,4,16,40,80,(  )
解析:3级等差.
例:
1,10,31,70,133,(  )
解析:原数列后项减前项的值构成新数列,新数列后项减前项的值构成以6为公差的等差数列.


二、等比数列
等比数列的概念构建与等差数列的概念构建基本一致,所以要对比记忆与学习.
注意:等比数列不可能出现"0"这个常数,若数列中有"0"肯定不是等比数列.
当等比数列的公比为负数时,这个数列就会是正数与负数交替出现.

1.等比数列
例:
3,9,(  ),81,243

2.二级等比数列:数列后项除以前项所得的新数列为等比数列.
例:
1,2,8,(  ),1024

3.二级等比数列变式:后一项与前一项所得之比形成的新的数列可能是自然数列、平方数列、立方数列或者加减某个常数(如 1,2,3,4,5等)的形式有关的数列.
例:
102,96,108,84,132,(  )
解析:后项减前项的新数列是以-2为公比的等比数列.


三、和数列

1.典型和数列:典型和数列是指前两项相加的和等于下一项.
例:
1,1,2,3,5,8,(  )

2.典型和数列的变式:指前两项相加的和经过变化之后得到下一项,这种变化可能是加、减、乘、除某一常数(如1,2,3,4,5等);或者每相邻两项相加之和与项数之间具有某种关系;或者每相邻两项相加得到某一等差数列、等比数列、平方数列、立方数列等形式.
例:
2,3,13,175,(  )
解析:第三项为第二项的平方加上第一项的2倍.(13=3^2+2*2,175=13^2+3*2)
例:
1,4,3,5,2,6,4,7,(  )
解析:偶数等于前后两个奇数之和.

3.三项和数列及其变式:特点为"相邻三项加之和等于下一项".三项和数列的变式是指前三项相加后,再加、减、乘、除某一常数得到下一项,或是数列前三项相加得到一个等差数列、等比数列、平方数列、立方数列等形式.
例:
0,1,1,2,4,7,13,(  )
解析:典型的三项和数列.
例:
57,22,36,-12,51,(  )
解析:数列前一项减后一项的差再加项数等于下一项.(57-22+1=36,22-36+2=-12)


四、积数列

1.典型积数列:指数列中前两项相乘得到下一项.
例:
1,3,3,9,(  ),243

2.积数列的变式:数列中每相邻两项相乘经过变化之后得到下一项,这种变化可能是加、减、乘、除某一常数,或者相邻两项相乘与项数之间具有某种关系,或是前两项相乘得到等差数列,等比数列,平方数列,立方数列等形式.
例:
3,7,16,107,(  )
解析:第三项等于前两项的积减去5.(16=3*7-5,107=16*7-5)
例:
3,4,6,12,36,(  )
解析:第三项等于前两项的积再除以2.(6=3*4/2,12=4*6/2,36=12*6/2)


五、平方数列

1.典型平方数列(递增或递减):分为几种基本数列(自然数列、奇数数列、质数数列、等差数列)的平方.
例:
16,9,4,1,0,1,(  )

2.平方数列的变式:这一数列不是简单的平方数列,而是在此基础上进行"加减乘除某一常数"的变化.
例:
2,12,36,80,(  )
解析:方法1:2=2*1^2,12=3*2^2,36=4*3^2,80=5*4^2
        方法2:2=1^2+1^3,12=2^2+2^3,36=3^2+3^3,80=4^2+4^3
例:
1/6,2/3,3/2,8/3,(  )
解析:先将数列变形为:1/6,4/6,9/6,16/6,即:1^2/6,2^2/6,3^2/6,4^2/6.

3.二级平方数列:把原数列还原为平方形式后,其底数之间的关系可能为等比数列,等差数列,和数列,减法数列等关系.例:
1,4,16,49,121,(  )
解析:原数列变形为:1^2,2^2,4^2,7^2,11^2,可看出1,2,4,7,11的差为1,2,3,4.
例:
1,2,3,7,46,(  )
解析:第三项等于第二项的平方减去第一项(3=2^2-1,7=3^2-2)


六、立方数列

1.典型立方数列(递增或递减):分为几中基本数列(自然数数列,奇数数列,质数数列,等差数列)的立方.
例:
8,1,0,-1,-8,(  )
例:
125,64,27,(  ),1

2.立方数列的变式:指在立方数列的基础上进行某种变化后得到的新数列,这种变化通常指"加减乘除某一常数"的变化.
例:
0,9,26,65,124,(  )
解析:0=1^3-1,9=2^3+1,26=3^3-1,65=4^3+1..
例:0,2,10,30,(  )
解析:0=0^3+0,2=1^3+1,10=2^3+2,30=3^3+3

七、组合数列

1.隔项组合数列:指两个数列(基本数列的任何一种或两种)进行隔项组合.
例:
1,3,3,5,7,9,13,15,(  ),(  )
解析:分为两项1,3,7,13和3,5,9,15

2.分段组合数列:数列中连续几项为一段,段与段之间或奇数段或偶数段各呈现同一种规律.
例:
1,1,8,16,7,21,4,16,2,(  )
解析:1/1=1,16/8=2,21/7=3,16/4=4..
例:
3,7,13,21,25,31,(  )
解析:3,7,13,21组成一个二级等差数列,所以21,25,31也同样组成一个二级等差数列.

3.特殊组合数列:数列中各项的整数和小数、整数和无理数、分子和分母等分别呈现出某种规律.
例:
1.04,4.08,7.16,(  ),13.64
例:
26,312,524,848,(  )
解析:各项的最高位构成:2,3,5,8的二级等差数列.后面的数构成6,12,24,48的等比数列.


八、其他数列

1.质数数列及其变式
(所谓质数是指只能被1和它本身整除的整数,也叫素数)
例:
2,3,5,7,(  )
例:
22,24,27,32,39,(  )
解析:各项差为质数数列.

2.合数数列及其变式
(所谓合数即大于1而不是质数的整数)
例:
1,5,11,19,28,(  ),50
解析:后一项减去前一项的差为合数数列.

3.分数最简化
例:
133/57,119/51,91/39,49/21,(  ),7/3
解析:对各个数约分可知规律:133/57=7/3,119/51=7/3....
例:
5/7,7/12,12/19,19/31,(  )
解析:后一项的分子是前一项的分母,后一项的分母是前一项分子和分母的和.

Aselin

看到了 非常不错